Модели биполярных и полевых транзисторов современных схемных симуляторах

В статье рассмотрены известные мо­дели биполярных транзисторов и выполнен их сравнительный ана­лиз. Показаны особенности приме­нения каждой из них при проектиро­вании аналоговых устройств.

А. Сачко

Потребность в простых моделях диода и биполяр­ного транзистора была осознана, когда в 1970 году Рон Рохри и Лари Нагел в Университете Калифорнии Беркли написали на языке Фортран первую версию Spice. До этого активно развивалась математическая теория и проводились эксперименты по измерению электрических параметров полупроводников. Первая версия Spice описывала транзистор с использовани­ем модели Эберса-Молла. Уже тогда стало ясно, что при имеющихся вычислительных мощностях универ­сальную модель транзистора создать не удастся. Та­кая модель была бы пригодна для моделирования всех типов схем: цифровых, низкочастотных на ма- лом/большом сигналах, высокочастотных на ма- лом/большом сигналах, описывала бы источники шу­мов и т.п.

Разработчику цифровых схем достаточно знать ус­редненные емкости эмиттерного и коллекторного пе­реходов, сопротивление насыщения и напряжение пробоя. Разработчику малосигнальных аналоговых ИС (ОУ, источников опорного напряжения, датчиков и т.п.) необходима модель по постоянному току и ком­пактная малосигнальная модель, например Hybrid Pi. Когда же требуется модель для разработки мощных радиочастотных схем: усилителей мощности, смеси­телей, автогенераторов, необходимо, кроме того, мо­делировать коллекторный переход, чтобы вычислить интермодуляционные составляющие и найти выход­ной импеданс, определить влияние температуры вну­три кристалла, которым в этом случае нельзя прене­брегать.

В процессе осмысления и обобщения этого широ­кого круга вопросов возникло три типа моделей:

• математическая, в которой токи и напряжения на выводах транзистора пытались описать систе­мами нелинейных уравнений, абстрагируясь от конкретных физических процессов внутри транзи­стора

табличая, в которой отклики транзистора на его выводах полностью описаны матрицами, исполь­зуемыми в качестве обычных просмотровых таблиц. Примером этого может служить модель Mo­torola ROOT MOSFET Model

• физическая, когда уравнениями моделируются физические явления в полупроводнике, например, рекомбинация в базе при разных токах базы, мо­дуляция ширины базы, коэффициент инжекции. Нужно было также определиться с требованиями к точности модели. Если их чрезмерно завысить, то транзистор может превратиться в 3D-cmpyKTypy, для которой нужно решать физические уравнения нераз­рывности и Пуассона во времени и пространстве. В этом случае режим простого транзисторного ключа пришлось бы рассчитывать на ПК полдня, ясно, что такая избыточность неоправданна.

Модель Эберса-Молла (Ebers–Moll) [1]. Модель появилась в стенах Bell Telephone Laboratories в сере­дине 50 годов ХХ века. В то время там разрабатывали полупроводниковые ключи, предназначенные для за­мены вакуумных ламп в американских телефонных станциях. Джон Льюис Молл был активным участни­ком этих работ.

В аналоговой схемотехнике принято считать, что биполярный транзистор – это управляемый источник тока. Именно он определяет основные параметры схемы. Качество модели, ее совершенство оценива­ется по тому, как она описывает ток коллектора. Мо­дель Эберса-Молла является самой простой из всех и самой неточной. О ней можно сказать, что это управ­ляемая напряжением модель. Пришедшая ей на смену модель Гаммела-Пуна [2] является по своей сути моделью, управляемой зарядом.

Рис. 1. Эквивалентная схема транзистора, составленная по уравнениям Эберса-Молла

Схема, приведенная на рис. 1 [1, 3], описывает ра­боту транзистора во всех 4 режимах: прямом, обрат­ном, насыщения и отсечки.

Модель имеет следующие параметры:

IS – ток насыщения, eF — прямой коэффициент пе­редачи по току в схеме с ОЭ, eR — обратный коэффи­циент передачи по току в схеме с ОЭ.

Уравнения источников тока, формирующих мо­дель:

где I f — идеальный прямой диффузионный ток, I r — иде­альный обратный диффузионный ток, q – элементар­ный заряд электрона, VBE – напряжение на эммитер- ном переходе, VBC – напряжение на коллекторном переходе, k- постоянная Больцмана, Т- температура в К, n – собственная концентрация носителей в крем­нии, D – среднее значение коэффициента диффузии инжектированных носителей в базе, A – площадь эмиттерного перехода, Q_BO – постоянный заряд в ба­зе при нулевом смещении на эмиттерном переходе.

Уравнение источника коллекторного тока для этой модели имеет вид:

Модель Эберса-Молла имеет существенные недо­статки и в приведенном виде имеет ограниченное практическое применение.

Главные проблемы модели можно понять, рассмо­трев рис. 2 [3].

Рис. 2. Отклик модели транзистора на постоянном токе (сплошная линия), размытые области представляют реально измеренные величины

Очевидно, что модель Эберса-Молла адекватно описывает транзистор только в определенном диапа­зоне токов и напряжений. Модель не может описать эффект Эрли, что видно из рис. 2, в – вместо наклона в активной области мы имеем плоское “плато”, что оз­начает бесконечное выходное сопротивление. Режим большой инжекции, представленный как спад кривой на рис. 2, в, также не моделируется. Наконец, не учи­тывается рекомбинация в обедненном слое коллекто­ра, дающая спад eF при малых токах в транзисторе. Отметим, что режим большой инжекции наступает тогда, когда с увеличением коллекторного тока кон­центрация в базе инжектированных носителей при­ближается к концентрации основных носителей.

Модель Гаммела-Пуна (Gummel–Poon). Еще до формального принятия модели Гаммела-Пуна как промышленного стандарта многие авторы [4-6] пыта­лись применить модель транзистора как устройства, управляемого зарядом, инжектированным в базу. Ме­тод заряда описан во всех отечественных учебниках по проектированию полупроводниковых радиопере­датчиков. Метод довольно адекватно представляет транзистор при повышенной мощности, поскольку учитывает режим большой инжекции. Эквивалентная схема, составленная по уравнениям модели, показа­на на рис. 3.

Рис. 3. Эквивалентная схема транзистора, представляющая модель Гаммела-Пуна

В основе модели лежит все то же уравнение Мол­ла-Роса (4) , но фиксированный заряд в знаменателе Q_BO заменяется функцией, которая зависит от тока в транзисторе и напряжений на обоих переходах. Кро­ме того, заряд в базе вычисляется как интеграл по всей ширине базы. Поэтому новая величина заряда в базе равна:

А ток коллектора может быть представлен как

где n(x) – распределение инжектированных носителей в базе в данный момент времени, W – ширина базы.

Заряд Q_B представляется суммой пяти компонен­тов, среди которых уже известный заряд Q_BO. Полный заряд в базе представлен выражением:

QB=QBO+QdE+QdC+QjE+QjC, где Q_BO – фиксированный заряд базы при нулевом смещении; Q_dE, Q_dC – диффузионные заряды, создан­ные инжектированными носителями обоих перехо­дов; Q_jE, Q_jC – заряды, созданные барьерными емкос­тями обоих переходов.

Заряды Q_dE, Q_dC, Q_jE, Q_jC моделируются четырьмя конденсаторами в эквивалентной схеме рис. 3. Основ­ным в работе транзистора при нормальном смещении (в активном режиме, в режимах отсечки и насыщения) является заряд Q_dE=T_FI_F. Отметим, что нелинейной функцией t_f моделируется режим большой инжекции.

Из рис. 4 видно, что при больших токах коллектора время пролета базы увеличивается. И это ведет к рос­ту заряда Q _dE и падению тока коллектора согласно фор­муле (6). Модель Гаммела-Пуна учитывает эффект Эр­ли введением заряда Q_jC, который зависит от напряже­ния на коллекторном переходе. Наконец, спад e_F на ма­лых токах (см. рис. 2, б), обусловленный рекомбинаци­ей в обедненной области коллектора, учтен тремя дио­дами утечки D1, D2, D3 на рис. 3. Модель Гаммела-Пу- на, в отличие от модели Эберса-Молла, практически пригодна для моделирования аналоговых схем. Одна­ко, число параметров этой модели увеличилось до 25 по сравнению с 3 для модели Эберса-Молла.

Рис. 4. Кривая зависимости времени пролета базы τF инжектированными носителями от тока коллектора

Малосигнальная модель транзистора. Практи­чески одновременно с Зарядовой Моделью появилась знаменитая Hybrid Pi – модель биполярного транзис­тора на малом сигнале. Физически Hybrid Pi является частным случаем или производной от модели Гаммела-Пуна. Ее повсеместно используют в ручных расче­тах линейных схем (схем, где амплитуда полезного сигнала составляет максимум 10-20 мВ). Поэтому Hy­brid Pi незаменима при расчетах операционных усили­телей, малошумящих и широкополосных усилителей, источников опорных токов и напряжений. Эквивалентная схема данной модели приведена на рис. 5.

Рис. 5. Малосигнальная модель биполярного транзистора Hybrid Pi

Модель получена в предположении, что транзистор работает в активной области, когда эмиттерный пере- ход смещен в прямом направлении, а коллекторный – в обратном. В этом случае эмиттерный переход модели- руется сопротивлением рекомбинации rπ, соединенным в параллель с диффузионной емкостью Сπ, а коллектор- ный переход представлен барьерной емкостью Cµ.

Согласно рис. 5 rb – сопротивление базы (обычно 10-200 Ом) – является важным элементом модели, так как определяет коэффициент шума транзистора, rπ = β/gm – сопротивление рекомбинации, Сπ = gmτF – диффузионная емкость, Cµ – барьерная емкость кол- лекторного перехода, часто называемая “емкость Миллера”, iC = gmVB’E – источник коллекторного тока, rO=VA/IC – выходное сопротивление транзистора, VA – напряжение Эрли, IC – постоянный ток смещения кол- лектора, gm=IC/(26 мВ) – проводимость или крутизна.

Покажем полезность этой модели на следующем примере.

На основе транзистора ВС337-40 фирмы Phillips (модель Гаммела-Пуна которого можно найти в [7]) был собран усилитель с общим эмиттером (рис. 6), ра- ботающий на частоте 1 кГц при постоянном токе сме- щения IC = 5 мA и сопротивлении нагрузки RL = 1 кОм.

Нужно рассчитать входное/выходное сопротивления и коэффициент усиления по напряжению.

Параметры транзистора ВС337-40: βF = 400, fT =100 МГц, VA = 100 В, rb = 70 Oм, Cµ = 3 пФ, где fT – частота, при которой модуль коэфициента передачи по току в схеме с ОЭ равен 1. Находим недостающие величины: gm = IC/(26 мВ)=0.2 A/B, rO = VA/IC = 20 кОм.

В эквивалентной схеме рис. 6 не показаны емкости Сπ и Cµ, имеющие большой импенданс на частоте 1 кГц.

Рис. 6. Электрическая (а) и эквивалентная (б) схемы усилителя с ОЭ на малом сигнале

Диффузионную емкость рассчитываем по экспери- ментальной формуле: Сπ=(gm)/(2πfT)=306 пФ.

Соответственно импедансы на частоте 1 кГц равны

Отсюда видно, что их значения велики по сравнению с rb и rπ.

Теперь можно расcчитать искомые величины. Ко- эффициент передачи по напряжению KU=VO/VI, где VO = –gmVb'(rO||RL), Vb’ = (VIrπ)/(rb+rπ) = VI/(1+rb/rπ).

Отсюда коэффициент KU равен KU = -[gm(rO||RL)]/(1+rb/rπ) = -177.

Интересно отметить, что на больших токах коллек- тора сопротивление рекомбинации rπ начинает снижаться и приближается к омическому сопротивлению rb, т.е. наступает режим большой инжекции. Это приводит к ощутимому падению KU.

Соотношения для входного и выходного импедансов тривиальны и равны соответственно Zin = rb+rπ = 2150 Oм и Zout = (rO||RL) = 952 Oм.

Промышленный стандарт – модель Mextram [8]. Это современная модель биполярного транзистора. Она содержит ряд особенностей, которых нет в модели Гаммела-Пуна. Модель долго тестировалась инжене­рами фирмы Phillips и подтвердила свою надежность и хорошую сходимость при реализации на ПК.

Модель разработана в институте Phillips Research Laboratories в Эйдховене (Голландия) и используется компанией с 1985 года. С 1994 г. модель Mextram версии 503 стала доступной широкой научной общественности. Модель Mextram 504 стала промышленным стандартом и используется многими компания­ми-производителями электронных компонентов: TSMC, Analog Device, Maxim, IBM, Phillips и др. Модель имеет ярко выраженную физичес­кую основу описания процессов внутри транзистора и 75 парамет­ров. Отметим, что модель Гаммела- Пуна практически не моделировала коллектор транзистора, постоян­ный резистор rс был пригоден лишь для малосигнальных схем, при про­ектировании усилителей мощности или автогенераторов можно было лишь грубо оценить выходную мощность, а попытки промодели­ровать искажения и уровни высших гармоник давали серьезные ошиб­ки. Автору этой статьи пришлось самому столкнуться с ситуацией, когда измеренные параметры изго­товленного на кристалле усилителя мощности Рo = +15 дБм и fo=1.8 ГГц начали расходиться с расчетными уже после уровня мощности +10 дБм (~10 мВт). Эти расхождения обус­ловлены эффектом квазинасыщения (quasi-saturation ef­fect), влияние которого на выходные характеристики транзистора показано на рис. 7. Эффект обнаруживает­ся при достаточно больших токах коллектора и связан с возрастанием падения напряжения на эпитаксиальном слое коллектора, из-за чего коллекторный переход на­чинает смещаться в сторону прямой проводимости. При этом растет концентрация носителей на границе база- коллектор. Это означает, что на выходных характеристи­ках транзистора появляется переходной участок от на­сыщения до активной области.

Авторы модели Mextram отказались от идеи рас­сматривать заряд в базе Q_dE=Ʈ_FIF как функцию тока.

Рис. 7. График зависимости тока IC от напряжения VCE для различных моделей транзистора

Особенности моделей биполярного транзистора

В рамках этой модели токи и заряды рассматривают­ся независимо друг от друга и являются функциями напряжений и концентраций носителей на обоих пе­реходах. Это дает возможность точнее рассчитать время пролета базы инжектированными носителями, смоделировать режим большой инжекции, эффекты квазинасыщения и Эрли.

Еще одним преимуществом модели Mextram явля­ется то, что она очень точно моделирует режим боль­шой инжекции, а именно спад в и fT при больших токах коллектора. Кроме того, в модели учтены основные температурные эффекты внутри транзистора, что позволяет выполнять электротермальные симуляции наряду с электрическими. В заключение приведем эк­вивалентную схему модели Mextram (рис. 8) и сравни­тельную таблицу особенностей трех рассмотренных выше моделей биполярного транзистора.

Рис. 8. Эквивалентная схема транзистора, представляющая модель Mextram

Получение параметров модели транзистора Mex- tram – достаточно сложная и комплексная задача. Ее решение серьезно осложняется, поскольку число па­раметров модели велико. Изначально транзистор представлен как четырехполюсник, “начинка” которого недоступна. Нужно так продумать стратегию измере­ний и обработки данных, чтобы получить параметры модели в сжатые сроки при минимальной вероятности ошибки. Ситуация, когда для одного и того же массива данных существует несколько описывающих его набо­ров функций, является типовой. Не всегда неоднознач­ность удается устранить путем измерений и в таком случае приходится обращаться за данными к техноло­гам. К этим данным относятся физические параметры процесса изготовления транзистора: удельные сопро­тивления слоев, концентрации примесей, геометрия кристалла и т.п. Используя эмпирические формулы, можно получить диапазон реальных значений величин.

В настоящее время для любой из современных мо­делей созданы и опробованы стандартные алгоритмы/стратегии получения параметров. Существуют спе­циальные компьютерные программы для работы с из­меряемыми массивами данных. В качестве промышлен­ного стандарта принята программа ICCAP фирмы Agilent Technologies. Программный пакет ICCAP осуществляет автоматический сбор данных и управление измеритель­ным оборудованием, экстракцию параметров, графиче­ский и статистический анализы, оптимизацию данных.

Типовая процедура получения параметров модели включает следующие шаги:

• подключить транзистор к тестовой оснастке,
• выполнить измерения по постоянному току,
• выполнить CV-измерения (измерить емкости при разных смещениях),
• измерить высокочастотные S-параметры тран­зистора как четырехполюсника,
• обработать полученные массивы данных специ­альными процедурами/макросами.

В составе пакета ICCAP имеются макросы для всех известных моделей транзисторов.

В [9] описан измерительный комплекс фирмы Agi­lent Technologies, состоящий из измерителя парамет­ров полупроводниковых приборов и высокочастотно­го анализатора цепей для измерения малосигнальных S-, Y-, Z-матриц, также показан типовой сеанс работы программы ICCAP.

Выводы

В работе рассмотрены основные характеристики и выполнен сравнительный анализ распространенных в мире аналогового проектирования моделей биполяр­ного транзистора. Упомянуты также особенности из­мерения параметров моделируемых транзисторов.