Моделі біполярних та польових транзисторів сучасних схемних симуляторів

В статті розглянуто відомі моделі біполярних транзисторів і виконано їх порівняльний аналіз. Показані особливості застосування кожної з них при проектуванні аналогових пристроїв.

А. Сачко

Потреба в простих моделях діода і біполярного транзистора була усвідомлена, коли в 1970 році Рон Рорі і Ларі Нагел в Університеті Каліфорнії Берклі написали на мові Фортран першу версію Spice. До цього активно розвивалася математична теорія і проводилися експерименти з вимірювання електричних параметрів напівпровідників. Перша версія Spice описувала транзистор з використанням моделі Еберса-Молла. Уже тоді стало ясно, що при наявних обчислювальних потужностях універсальну модель транзистора створити не вдасться. Така модель була б придатна для моделювання всіх типів схем: цифрових, низькочастотних на малому/великому сигналах, високочастотних на малому/великому сигналах, описувала б джерела шумів і т.п.

Розробнику цифрових схем достатньо знати усереднені ємності емітерного і колекторного переходів, опір насичення і напругу пробою. Розробнику малосигнальних аналогових ІС (ОУ, джерел опорної напруги, датчиків і т.п.) необхідна модель по постійному струму і компактна малосигнальна модель, наприклад Hybrid Pi. Коли ж потрібна модель для розробки потужних радіочастотних схем: підсилювачів потужності, змішувачів, автогенераторів, необхідно, крім того, моделювати колекторний перехід, щоб обчислити інтермодуляційні складові і знайти вихідний імпеданс, визначити вплив температури всередині кристала, яким в цьому випадку не можна нехтувати.

В процесі осмислення і узагальнення цього широкого кола питань виникло три типи моделей:

• математична, в якій струми і напруги на виводах транзистора намагалися описати системами нелінійних рівнянь, абстрагуючись від конкретних фізичних процесів всередині транзистора

таблична, в якій відгуки транзистора на його виводах повністю описані матрицями, використовуваними в якості звичайних переглядових таблиць. Прикладом цього може служити модель Motorola ROOT MOSFET Model

• фізична, коли рівняннями моделюються фізичні явища в напівпровіднику, наприклад, рекомбінація в базі при різних струмах бази, модуляція ширини бази, коефіцієнт інжекції. Потрібно було також визначитися з вимогами до точності моделі. Якщо їх надмірно завищити, то транзистор може перетворитися в 3D-структуру, для якої потрібно вирішувати фізичні рівняння нерозривності і Пуассона в часі і просторі. В цьому випадку режим простого транзисторного ключа довелося б розраховувати на ПК півдня, ясно, що така надмірність невиправдана.

Модель Еберса-Молла

Далі розлянемо модель Еберса-Молла (Ebers-Moll) . Модель з’явилася в стінах Bell Telephone Laboratories в середині 50 років ХХ століття. В той час там розробляли напівпровідникові ключі, призначені для заміни вакуумних ламп в американських телефонних станціях. Джон Льюїс Молл був активним учасником цих робіт.

В аналоговій схемотехніці прийнято вважати, що біполярний транзистор – це кероване джерело струму. Саме воно визначає основні параметри схеми. Якість моделі, її досконалість оцінюється по тому, як вона описує струм колектора. Модель Еберса-Молла є найпростішою з усіх і найнеточнішою. Про неї можна сказати, що це керована напругою модель. Та, що прийшла їй на зміну модель Гаммела-Пуна є по своїй суті моделлю, керованою зарядом.

Схема, наведена на рис. 1 , описує роботу транзистора у всіх 4 режимах: прямому, зворотному, насичення і відсічки.

Модель має такі параметри:

IS – струм насичення, βF — прямий коефіцієнт передачі по струму в схемі з ОЕ, βR — зворотний коефіцієнт передачі по струму в схемі з ОЕ.

Рівняння джерел струму, що формують модель:

де I f — ідеальний прямий дифузійний струм, I r — ідеальний зворотний дифузійний струм, q – елементарний заряд електрона, VBE – напруга на емітерному переході, VBC – напруга на колекторному переході, k- постійна Больцмана, Т- температура в К, n – власна концентрація носіїв в кремнії, D – середнє значення коефіцієнта дифузії інжектованих носіїв в базі, A – площа емітерного переходу, QBO – постійний заряд в базі при нульовому зміщенні на емітерному переході.

Рівняння джерела колекторного струму для цієї моделі має вигляд:

Модель Еберса-Молла має суттєві недоліки і в наведеному вигляді має обмежене практичне застосування.

Недоліки моделі

Головні проблеми моделі можна зрозуміти, розглянувши рис. 2 .

Очевидно, що модель Еберса-Молла адекватно описує транзистор тільки в певному діапазоні струмів і напруг. Модель не може описати ефект Ерлі, що видно з рис. 2, в – замість нахилу в активній області ми маємо плоске “плато”, що означає нескінченний вихідний опір. Режим великої інжекції, представлений як спад кривої на рис. 2, в, також не моделюється. Нарешті, не враховується рекомбінація в збідненому шарі колектора, що дає спад βF при малих струмах в транзисторі. Відзначимо, що режим великої інжекції настає тоді, коли з збільшенням колекторного струму концентрація в базі інжектованих носіїв наближається до концентрації основних носіїв.

Модель Гаммела-Пуна

Модель Гаммела-Пуна (Gummel-Poon). Ще до формального прийняття моделі Гаммела-Пуна як промислового стандарту багато авторів намагалися застосувати модель транзистора як пристрою, керованого зарядом, інжектованим в базу. Метод заряду описаний у всіх вітчизняних підручниках з проектування напівпровідникових радіопередавачів. Метод досить адекватно представляє транзистор при підвищеній потужності, оскільки враховує режим великої інжекції. Еквівалентна схема, складена за рівняннями моделі, показана на рис. 3.

В основі моделі лежить все те ж рівняння Молла-Роса (4) , але фіксований заряд в знаменнику QBO замінюється функцією, яка залежить від струму в транзисторі і напруг на обох переходах. Крім того, заряд в базі обчислюється як інтеграл по всій ширині бази. Тому нова величина заряду в базі дорівнює:

А струм колектора може бути представлений як

де n(x) – розподіл інжектованих носіїв в базі в даний момент часу, W – ширина бази.

Заряд QB представляється сумою п’яти компонентів, серед яких уже відомий заряд QBO. Повний заряд в базі представлений виразом:

QB=QBO+QdE+QdC+QjE+QjC, де QBO – фіксований заряд бази при нульовому зміщенні; QdE, QdC – дифузійні заряди, створені інжектованими носіями обох переходів; QjE, QjC – заряди, створені бар’єрними ємностями обох переходів.

Моделювання конденсаторами

Заряди QdE, QdC, QjE, QjC моделюються чотирма конденсаторами в еквівалентній схемі рис. 3. Основним в роботі транзистора при нормальному зміщенні (в активному режимі, в режимах відсічки і насичення) є заряд QdE=TFIF. Відзначимо, що нелінійною функцією tf моделюється режим великої інжекції.

З рис. 4 видно, що при великих струмах колектора час прольоту бази збільшується. І це веде до зростання заряду Q dE і падіння струму колектора згідно з формулою (6). Модель Гаммела-Пуна враховує ефект Ерлі введенням заряду QjC, який залежить від напруги на колекторному переході. Нарешті, спад βF на малих струмах (див. рис. 2, б), зумовлений рекомбінацією в збідненій області колектора, врахований трьома діодами витоку D1, D2, D3 на рис. 3. Модель Гаммела-Пуна, на відміну від моделі Еберса-Молла, практично придатна для моделювання аналогових схем. Однак, число параметрів цієї моделі збільшилося до 25 порівняно з 3 для моделі Еберса-Молла.

Рис. 4. Крива залежності часу прольоту бази τF інжектованими носіями від струму колектора

Малосигнальна модель транзистора

Малосигнальна модель транзистора. Практично одночасно з Зарядовою Моделлю з’явилася знаменита Hybrid Pi – модель біполярного транзистора на малому сигналі. Фізично Hybrid Pi є частковим випадком або похідною від моделі Гаммела-Пуна. Її повсюдно використовують в ручних розрахунках лінійних схем (схем, де амплітуда корисного сигналу становить максимум 10-20 мВ). Тому Hybrid Pi незамінна при розрахунках операційних підсилювачів, малошумливих і широкосмугових підсилювачів, джерел опорних струмів і напруг. Еквівалентна схема даної моделі наведена на рис. 5.

Модель отримана в припущенні, що транзистор працює в активній області, коли емітерний перехід зміщений в прямому напрямку, а колекторний – в зворотному. В цьому випадку емітерний перехід моделюється опором рекомбінації rπ, з’єднаним паралельно з дифузійною ємністю Сπ, а колекторний перехід представлений бар’єрною ємністю Cµ.

Згідно з рис. 5 rb – опір бази (зазвичай 10-200 Ом) – є важливим елементом моделі, так як визначає коефіцієнт шуму транзистора, rπ = β/gm – опір рекомбінації, Сπ = gmτF – дифузійна ємність, Cµ – бар’єрна ємність колекторного переходу, часто звана “ємність Міллера”, iC = gmVB’E – джерело колекторного струму, rO=VA/IC – вихідний опір транзистора, VA – напруга Ерлі, IC – постійний струм зміщення колектора, gm=IC/(26 мВ) – провідність або крутизна.

Приклад використання

Покажемо корисність цієї моделі на наступному прикладі.

На основі транзистора ВС337-40 фірми Phillips (модель Гаммела-Пуна якого можна знайти в ) був зібраний підсилювач з спільним емітером (рис. 6), що працює на частоті 1 кГц при постійному струмі зміщення IC = 5 мA і опорі навантаження RL = 1 кОм.

Потрібно розрахувати вхідний/вихідний опори і коефіцієнт підсилення по напрузі.

Параметри транзистора ВС337-40: βF = 400, fT =100 МГц, VA = 100 В, rb = 70 Ом, Cµ = 3 пФ, де fT – частота, при якій модуль коефіцієнта передачі по струму в схемі з ОЕ дорівнює 1. Знаходимо відсутні величини: gm = IC/(26 мВ)=0.2 A/B, rO = VA/IC = 20 кОм.

В еквівалентній схемі рис. 6 не показані ємності Сπ і Cµ, що мають великий імпеданс на частоті 1 кГц.

Дифузійну ємність розраховуємо за експериментальною формулою: Сπ=(gm)/(2πfT)=306 пФ.

Відповідно імпеданси на частоті 1 кГц дорівнюють

Звідси видно, що їх значення великі порівняно з rb і rπ.

Тепер можна розрахувати шукані величини. Коефіцієнт передачі по напрузі KU=VO/VI, де VO = -gmVb'(rO||RL), Vb’ = (VIrπ)/(rb+rπ) = VI/(1+rb/rπ).

Звідси коефіцієнт KU дорівнює KU = -/(1+rb/rπ) = -177.

Цікаво відзначити, що на великих струмах колектора опір рекомбінації rπ починає знижуватися і наближається до омічного опору rb, т.е. настає режим великої інжекції. Це призводить до відчутного падіння KU.

Співвідношення для вхідного і вихідного імпедансів тривіальні і дорівнюють відповідно Zin = rb+rπ = 2150 Ом і Zout = (rO||RL) = 952 Ом.

Модель Mextram

Промисловий стандарт – модель Mextram . Це сучасна модель біполярного транзистора. Вона містить ряд особливостей, яких немає в моделі Гаммела-Пуна. Модель довго тестувалася інженерами фірми Phillips і підтвердила свою надійність і хорошу збіжність при реалізації на ПК.

Модель розроблена в інституті Phillips Research Laboratories в Ейндховені (Голландія) і використовується компанією з 1985 року. З 1994 р. модель Mextram версії 503 стала доступною широкій науковій громадськості. Модель Mextram 504 стала промисловим стандартом і використовується багатьма компаніями-виробниками електронних компонентів: TSMC, Analog Device, Maxim, IBM, Phillips і др. Модель має яскраво виражену фізичну основу опису процесів всередині транзистора і 75 параметрів.

Особливості моделі

Відзначимо, що модель Гаммела-Пуна практично не моделювала колектор транзистора, постійний резистор rс був придатний лише для малосигнальних схем, при проектуванні підсилювачів потужності або автогенераторів можна було лише грубо оцінити вихідну потужність, а спроби промоделювати спотворення і рівні вищих гармонік давали серйозні помилки. Автору цієї статті довелося самому зіткнутися з ситуацією, коли виміряні параметри виготовленого на кристалі підсилювача потужності Рo = +15 дБм і fo=1.8 ГГц почали розходитися з розрахунковими вже після рівня потужності +10 дБм (~10 мВт). Ці розбіжності обумовлені ефектом квазінасичення (quasi-saturation effect), вплив якого на вихідні характеристики транзистора показаний на рис. 7. Ефект виявляється при достатньо великих струмах колектора і пов’язаний зі зростанням падіння напруги на епітаксіальному шарі колектора, через що колекторний перехід починає зміщуватися в бік прямої провідності. При цьому росте концентрація носіїв на кордоні база-колектор. Це означає, що на вихідних характеристиках транзистора з’являється перехідний ділянку від насичення до активної області.

Фізично-незалежне моделювання струмів і зарядів у Mextram

Автори моделі Mextram відмовилися від ідеї розглядати заряд в базі QdE=ƮFIF як функцію струму.

Особливості моделей біполярного транзистора

Переваги моделі

 В рамках цієї моделі струми і заряди розглядаються незалежно один від одного і є функціями напруг і концентрацій носіїв на обох переходах. Це дає можливість точніше розрахувати час прольоту бази інжектованими носіями, змоделювати режим великої інжекції, ефекти квазінасичення і Ерлі.

Ще однією перевагою моделі Mextram є те, що вона дуже точно моделює режим великої інжекції, а саме спад β і fT при великих струмах колектора. Крім того, в моделі враховані основні температурні ефекти всередині транзистора, що дозволяє виконувати електротермальні симуляції поряд з електричними. На завершення наведемо еквівалентну схему моделі Mextram (рис. 8) і порівняльну таблицю особливостей трьох розглянутих вище моделей біполярного транзистора.

Отримання параметрів моделі транзистора Mextram – достатньо складна і комплексна задача. Її рішення серйозно ускладнюється, оскільки число параметрів моделі велике. Спочатку транзистор представлений як чотириполюсник, “начинка” якого недоступна. Потрібно так продумати стратегію вимірювань і обробки даних, щоб отримати параметри моделі в стислі терміни при мінімальній ймовірності помилки. Ситуація, коли для одного і того ж масиву даних існує кілька описуючих його наборів функцій, є типовою. Не завжди неоднозначність вдається усунути шляхом вимірювань і в такому випадку доводиться звертатися за даними до технологів. До цих даних відносяться фізичні параметри процесу виготовлення транзистора: питомі опори шарів, концентрації домішок, геометрія кристала і т.п. Використовуючи емпіричні формули, можна отримати діапазон реальних значень величин.

В даний час для будь-якої з сучасних моделей створені і випробувані стандартні алгоритми/стратегії отримання параметрів. Існують спеціальні комп’ютерні програми для роботи з вимірюваними масивами даних. В якості промислового стандарту прийнята програма ICCAP фірми Agilent Technologies. Програмний пакет ICCAP здійснює автоматичний збір даних і управління вимірювальним обладнанням, екстракцію параметрів, графічний і статистичний аналізи, оптимізацію даних.

Типова процедура отримання параметрів моделі

Вона включає такі кроки:

• підключити транзистор до тестової оснастки,
• виконати вимірювання по постійному струму,
• виконати CV-вимірювання (виміряти ємності при різних зміщеннях),
• виміряти високочастотні S-параметри транзистора як чотириполюсника,
• обробити отримані масиви даних спеціальними процедурами/макросами.

В складі пакету ICCAP є макроси для всіх відомих моделей транзисторів.

В описаний вимірювальний комплекс фірми Agilent Technologies, що складається з вимірювача параметрів напівпровідникових приладів і високочастотного аналізатора ланцюгів для вимірювання малосигнальних S-, Y-, Z-матриць, також показаний типовий сеанс роботи програми ICCAP.

Висновки

В роботі розглянуто основні характеристики і виконано порівняльний аналіз поширених в світі аналогового проектування моделей біполярного транзистора. Згадані також особливості вимірювання параметрів модельованих транзисторів.